十分鐘讀懂理財投資學—什麼是最好的投資組合?引起華爾街第一次革命的經典理論

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本篇是「十分鐘讀懂投資理財學」系列的第二篇文章。本系列將帶領讀者建立——金融市場上的風險和報酬的關係,培養資本市場的直覺。

 


1954 年的秋天,一個名叫 Harry Markowitz 的 27 歲年輕人站在芝加哥大學經濟系的走廊,焦急地等待他博士論文口試的結果。

在先前一個半小時的口試過程中,口試委員中的其中一位教授--知名經濟學家 Milton Friedman 的一番話讓這位可憐的研究生忐忑不安…

(Friedman 就是和凱因斯吵架吵得最有名的那位,著有超重量級經濟學書《資本主義與自由》,並在 1976 年得到諾貝爾經濟學獎,也被譽為20世紀最重要的經濟學家之一)

「Harry,這裡的計算沒有問題,但這份論文不在經濟學領域的範圍,我們可能不能授予你經濟學博士學位。」

光憑論文內容來看,的確沒有針對生產需求、貨幣供給等傳統經濟學的領域進行探討。Markowitz 闡述的核心問題,是如何找到「在選定的風險下,能獲得最高報酬的投資組合」。

慶幸的是,Friedman 只是開了一個玩笑。這個年輕人在短短 5 分鐘後便聽到了好消息——口試通過,成功獲得了博士學位。

然而真正讓 Markowitz 沒有料到的是,這份論文,將在 36 年之後為他贏得諾貝爾經濟學獎,並使他成為公認的「現代投資組合理論」奠基人。該理論更被譽為「華爾街的第一次革命」。

(當年刊登在 Journal of Finance 上 Markowitz 的論文傳送門,讀者有興趣可以看看)(本段軼聞資料來源:弥财MiCai

 

什麼叫做不要把雞蛋放在同一個籃子裡?風險和報酬之間的關係是什麼?

「現代投資組合理論」(Modern Portfolio Theory) 源於經濟學家 Harry Markowitz 於 1952 年在期刊上登出的《Portfolio Selection》,也讓他因此在 1990 年獲頒諾貝爾經濟學獎。

讓我們用淺顯易懂的方式,實際跑一次模型給你看,培養你對資本市場的直覺。

 

 

初探markowitz的現代投資組合理論

讓我們回到 1602 年,那時只有東印度公司一支股票。

那個年代除了一支股票,還有一種極度安全的投資工具,比如荷蘭國債、投資人可以每年收微薄但固定的利息。

這種極度安全投資工具的利率,我們稱為「無風險利率」。

假設我們可以在這個無風險利率之下借出和借出資金,這個無風險利率稱為 R{f}

當無風險年利率為 5% 的時候,我們用這個利率投資就是 5% 年息,用這個利率貸款就是 5% 貸款利率。

現實生活中因為中間還有一層銀行抽手續費和利差的關係,借款人支付的利率會比作為投資人收到的還要多。

不管怎麼樣,我們還是先假設只存在一個利率為整數 5%,然後假設東印度公司歷史平均報酬率為 20%。

但它的投資風險很大,標準差高達 40%。

那麼我可以做什麼呢?

我們能畫一個圖表——把橫軸標為風險 (投資組合的標準差)、縱軸標為投資組合的預期報酬率 r。

然後我們可以選擇股票和無風險利率的組合方式,再把所有可能的情況畫成圖,好一目瞭然。

 

若按 5% 的無風險利率投資、就不用承擔風險,也就是 r{f} 點。

也就是不存在任何風險、就能有 5% 的收益。

東印度公司的位置在這裡—— 20% 的報酬率、40%的風險。

現在我們有 100 元。

如果把 100 元全部都投入東印度公司的股票,將會得到 20 元的利潤、同時也面臨 40 元標準差波動的風險。

那我們能不能借錢去買股票呢?當然可以。

當借入了 100 元、又拿這 100 元去買東印度公司的股票,代表我們最後會擁有 200 元的東印度公司股票,同時擁有 100 元的債務。

現在的預期報酬是多少呢 ?

 

注意噢~答案不是 40%,而是 35%。

我們現在擁有價值 200 元的東印度公司股票,預期報酬是 20%、所以我將得到 40 元的報酬。

但別忘了,其中 100 元是借來的,還有負債!需要給我的債權人 5% 利息。所以最後我能得到 40 – 5 =  35 元 ,佔初始投資的比例為 35%。

所以又得到了一個點為報酬 35%、標準差是 80%。這樣就叫做「 2:1 倍槓桿」。

雖然我只有 100 元,卻能夠藉由借錢、在股市中投入 200 元。

把這些點連起來,就會出現一條直線。

由於我們在投資風險比較高的商品時,會要求較高的報酬率,以彌補所承受的高風險。

不然東印度公司股票風險(波動度)那麼高,為什麼還值得買?因為報酬高呀。如果風險高、但報酬卻沒有比較高,那就不會有任何人會去買了。

這額外增加的報酬率,就稱為風險溢酬。

而這條線的斜率 S,等於選擇的資產組合,每增加一單位標準差、上升的期望報酬。

換句話說,就是每單位額外風險的額外收益的測度。因此該斜率也可稱為報酬與波動性比率 (reward-to-variability ratio)。

在這條線上,我們能做任意的組合——比如把錢一半投入無風險資產、一半投入東印度公司股票。

那麼什麼才是「最佳投資組合」?

如果客戶跟投資經理說:「我想要報酬率 100%。」

你覺得達得到嗎?

 

 

當然達得到。還記得我們把報酬率從 20% 拉到 35% 的過程嗎?只要運用槓桿操作,就能達到任何想要的報酬,只是風險也會極高

這張圖就叫「資本配置線」(Capital Asset Allocation, CAL),假設一個風險資產與無風險資產組成的投資組合。

利用資本配置線,我可以得到任意我想要的報酬(還有相對應的風險)。

 

不存在最佳的投資組合,只有報酬與風險的TRADE-OFF

因此,1952 年 Markowitz 探討的核心問題就是「不存在最佳投資組合」,只存在風險和報酬之間的平衡。

在資本配置線中,我們已經找出了平衡點——在這條線上的任意一點,都是可以投資的組合。而投資人必須在風險和報酬中做出選擇 。

若整理成數學式,則如下:

包含風險資產與無風險資產的投資組合 (A Portfolio of Risky and Riskless Assets)

  • 總資產 1 元。
  • 將其中的 x 元放入風險資產、報酬率為 r{1}
  • 將剩下的 (1-x) 元放入無風險資產、無風險報酬率為 r{f}
  • 組合期望報酬 r = x*r{1} + (1-x)*r{f}

我們能夠根據 r 來解出 x 的值: x = (r - r{f}) / (r1 - rf)

再進而算出變異數和標準差(都只是代公式而已~別緊張噢):

  • 組合變異數 x^{2}*var(return1)
  • 組合標準差 \sigma = x{1}*\sigma(return1)

以上,是無風險加上風險資產的投資組合。

 

接下來讓我們看看:兩種是有風險資產的投資組合。

包含兩種風險資產的投資組合 (A PORTFOLIO OF two RISKY ASSETs)

  • 總資產 1 元。
  • 將其中的 x{1} 元放入風險資產 1、報酬率為 r{1}
  • 將剩下的 (1-x{1}) 元放入風險資產 2、報酬率為 r{2}

然後我們同樣能根據 r 解出 x{1} 的值,然後代公式求出變異數:

  • 組合期望報酬 r = x{1}*r{1} + (1-x{1})*r{2}
  • 組合變異數 x{1}^{2}*var(return1) + (1-x{1})^{2}*var(return2) + 2x{1}(1 - x{1})cov(return1, return2)

x{1} = (r - r{2}) / (r{1} - r{2})

\sigma^{2} = (r - r{2}) / (r{1} - r{2})^{2}*\sigma{1} + (r {1}- r) / (r{1} - r{2})^{2}*\sigma{2} + 2*((r-r{2})(r{1} - r))/(r{1} - r{2})^2*\sigma{12}

開完平方根後,就可以把數值轉成雙曲線圖了。我們把這條線稱作「效率前緣」Efficient Frontier):

Note:效率前緣在金融領域是重要到炸的聖經級基本名詞

如果我們把所有錢 100% 投資在股票時,可以發現報酬可高達 13%,但風險同樣也會變得很高、約為 18%。

如果逐步調整為 40% 債券、60% 股票的組合,或債券和股票各 50% 的組合,可以發現報酬越來越低、但風險也越來越低。

遺憾的是,還是沒有一個最佳的投資組合,再次強調:投資只有風險和報酬的平衡。

不過除此之外,我們還是可以找到一些有趣的事情:

你覺得把錢 100% 都拿去買債券是正確的選擇嗎?

如果沒看效率前緣圖,聽起來也還不錯呀?每年都能穩穩賺 5% 報酬、風險也低。

 

然後我們來看看效率前緣圖…

當然 100% 買債券當然不是最正確的選擇!

還有一個點,雖然和 100% 持有債券的風險是一樣的、但報酬卻更高!

也就是說,效率前緣這張圖能幫助我們找到總風險相同時、可獲得最高預期報酬率的投資組合。基本上只要至少高於頂點就行了。

聽起來好像沒很困難(這些概念可以得諾貝爾經濟學獎?!),但在  Markowitz 寫論文的年代,一堆投資機構都是 100% 持有債券的呢。

 

接下來再讓我們嘗試一件事:如果從 2 種資產的投資組合,提升到包含 3 種資產的投資組合呢?

假設我們從原本的股票與債券,把投資組合中多加入一項新商品——石油。

三種投資組合標準差公式如下:

只有兩種投資組合(股票/債券)的效率前緣為粉紅色的線段;有三種投資組合(股票/債券/石油)的效率前緣為藍色線段。

可以看到一件神奇的事情發生了~ 效率前緣向左邊移動了!

資產組合中涵蓋的商品種類越豐富,預期報酬所對應的標準差就會越小,所以最理想的方式就是「分散投資」!

當資產的相關係數 > 0 時,曲線會向後彎;當相關係數為 1 時,因為完全沒有分散風險,曲線會呈現一直線。

可以發現要在相同風險之下,獲得較高的預期報酬率,就要讓資產組合內商品的相關性越低。

我們一直都聽過「不要把雞蛋放在同一個籃子裡」這句話,但從來沒有看過真正用數學推導後,會發生什麼事。

很明顯地,投資人會想要採納包含三種商品的投資組合、更勝過於採納僅包含兩種商品的投資組合。我們也可以增持四種商品、五種商品… 一直到 1000 多種以上的商品,讓風險足夠分散。

(不過以上只是理論面,巴菲特的老師、價值投資之父葛拉漢提出說,最多到 30 檔左右就已經達到足夠分散的效果了)

 

把無風險資產加進圖裡面

不過上面的效率前緣線,都是只有風險資產的組合、只包含標準差大於零的資產,並不包含標準差等於零的無風險資產。

如果我們增加一個無風險資產——一年期政府債券;由於一年期政府債券的到期時間和我們的投資期間皆為一年,所以可以確定它是沒有風險的。

假設無風險資產的報酬率 5%,加上原有投資各類商品的投資組合,要怎麼分配投資比例呢?

在未加進無風險資產之前,投資人僅能依其風險偏好,在原效率前緣 (N1 – M – N2) 線斷上進行選擇(但要除卻虛線的部分)。

還記得我們是怎麼把「無風險資產」和「東印度公司」股票搭配起來的嗎?不就是拉一條線?

所以我們拉一條會經過效率前緣上的切線,就會成功出現「無風險資產」加上「原投資組合」的新的投資組合了。

投資人可依個人的風險趨避程度,在這條線上適度增減風險性資產的投資額度,在更有效率的新效率前緣 ( Rf – M – B2) 上選擇較高效用的投資組合。

這條線就叫做「切線投資組合」。

其中,(M – B2) 的部份,表示投資人將以槓桿融資的方式進行投資。

 

值得想想看的地方來了… 包 3 種商品的投資組合會比只包 2 種好、包 4 種又會比只包 3 種好… 所以我們可以先畫出一條效率前緣,涵蓋市場上所有的風險商品。

接下來,再根據無風險資產,畫出一條切過這條效率前緣的切線,然後就有切線投資組合了。

所以理論上… 全市場上都會只想要投資這個唯一的組合!

可能有些人風險接受度較高、有些人較低,但還是只會在這條切線上去變動啊!

還要基金經理人幹嘛?還要投資專家幹麻?你想要多高報酬和多高風險、多低報酬和多低風險,通通照著這條線操作就行啦~ (〃°ω°〃)

我們不用上千種基金(基金就是跟一般大眾收錢集資,然後投資各種不同商品),只要有單一種基金就夠啦!

基金經理人需要問投資人的問題只有兩個:

  • 你的報酬(風險)設定在多少?
  • 要不要槓桿?(兩倍 / 三倍… 隨便你心臟承受度)

這就是根據  Markowitz 資產理論、後面延伸出來的共同基金理論(Mutual Fund Theorem)——全市場投資組合,和切線投資組合相等。

 

改革—CAPM,投資學界的聖經級理論

Markowitz 在 1952 年發表「分散投資」與「效率組合投資理論」等論文,第一次以嚴謹的數學工具,展示投資者在眾多風險資產中、如何構建最佳資產組合的方法,也因此成為「現代投資組合理論之父」。

但當時的… 還記得我們上面計算三檔風險資產共變數 (covariance) 公式的長度嗎?現在因為有電腦運算,要算 10 檔、20 檔以上的投資組合是一件輕輕鬆鬆的事。

但當時是 1950 年代、電腦才剛發明不久的時刻! Markowitz 可是自己用手算算出這一切的啊啊啊~(或許這才是他得諾貝爾經濟學獎的真諦)<- 大誤

當時每運行一次電腦,需要耗費 150 到 300 美元;要從當年的 1500 檔股票中挑出合適的商品來組合,運算所需的成本至少是上述金額的 50 倍。

而且投資人還必須能 持續估計 每一檔股票的預期報酬、標準差及相關係數,否則整個運算過程會變得毫無意義。(得隨時更新這些投資組合中每一檔股票的數字…嚇死人…)

為解決這個問題,從 1960 年代開始,以夏普 (Sharpe)、林特納 (Lintner) 等人為代表的經濟學家們,想辦法研究能不能簡化  Markowitz 的理論。

如果市場上的投資人,都採用現代投資組合理論,來選擇最佳的資產組合,那麼資產的均衡價格將如何在報酬與風險的權衡中形成呢?或者說,在市場均衡狀態下,資產的價格如何依風險而確定?

因此,後續這幾位經濟學家又進一步提出了「資本資產定價模型」(Capital Asset Pricing Model, CAPM)。

這就是!所有!念過金融/經濟/商管!的學生!都必學!的!大名鼎鼎的

CAPM 理論

就是它啊啊啊啊!!!(會 CAPM 就可以出去跟人聊天說你懂一點投資學理論了_(┐「ε:)_)(太重要所以標起來強調)

 

夏普也因此在 1990 年,和  Markowitz 一同獲得諾貝爾經濟學獎。

就讓我們在下篇,繼續為大家介紹——什麼是 CAPM 理論吧!

 

點我看下一集:投資基金一天到晚聽到的阿爾法、貝塔係數和夏普值到底是什麼意思?

哪些投資和其它比起來、能擁有更高的預期報酬呢?

哦,就是那些在經濟狀況不好時,會表現得最差的投資。 — 威廉・夏普

 

8 Replies to “十分鐘讀懂理財投資學—什麼是最好的投資組合?引起華爾街第一次革命的經典理論”

  1. 大頭 說:

    沒辦法再更棒了
    解釋的太清楚

  2. 大迷 說:

    可以請問2:1倍槓桿的標準差(風險)是怎麼得到的嗎?

    • Lynn 說:

      槓桿的意思是借錢買金融商品,擁有價值 200 元的東印度公司股票,但實際上自己真正的錢只有 100 元,另外100元是借來的。標準差就是根據圖上那條直線對應下來的~

  3. Chan 說:

    有沒有共同基金理論?

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