本篇是「十分鐘讀懂投資理財學」系列的第二篇文章。本系列將帶領讀者建立——金融市場上的風險和報酬的關係，培養資本市場的直覺。
- 第 0 篇：（前導）什麼是基金？變異數/標準差拿來衡量風險？—超簡單介紹
- 第 1 篇：股票市場為什麼報酬可以那麼高？什麼是最好的投資？
1954 年的秋天，一個名叫 Harry Markowitz 的 27 歲年輕人站在芝加哥大學經濟系的走廊，焦急地等待他博士論文口試的結果。
在先前一個半小時的口試過程中，口試委員中的其中一位教授－－知名經濟學家 Milton Friedman 的一番話讓這位可憐的研究生忐忑不安…
（Friedman 就是和凱因斯吵架吵得最有名的那位，著有超重量級經濟學書《資本主義與自由》，並在 1976 年得到諾貝爾經濟學獎，也被譽為20世紀最重要的經濟學家之一）
「Harry，這裡的計算沒有問題，但這份論文不在經濟學領域的範圍，我們可能不能授予你經濟學博士學位。」
光憑論文內容來看，的確沒有針對生產需求、貨幣供給等傳統經濟學的領域進行探討。Markowitz 闡述的核心問題，是如何找到「在選定的風險下，能獲得最高報酬的投資組合」。
慶幸的是，Friedman 只是開了一個玩笑。這個年輕人在短短 5 分鐘後便聽到了好消息——口試通過，成功獲得了博士學位。
然而真正讓 Markowitz 沒有料到的是，這份論文，將在 36 年之後為他贏得諾貝爾經濟學獎，並使他成為公認的「現代投資組合理論」奠基人。該理論更被譽為「華爾街的第一次革命」。
（當年刊登在 Journal of Finance 上 Markowitz 的論文傳送門，讀者有興趣可以看看）（本段軼聞資料來源：弥财MiCai）
什麼叫做不要把雞蛋放在同一個籃子裡？風險和報酬之間的關係是什麼？
「現代投資組合理論」(Modern Portfolio Theory) 源於經濟學家 Harry Markowitz 於 1952 年在期刊上登出的《Portfolio Selection》，也讓他因此在 1990 年獲頒諾貝爾經濟學獎。
讓我們用淺顯易懂的方式，實際跑一次模型給你看，培養你對資本市場的直覺。
初探markowitz的現代投資組合理論
讓我們回到 1602 年，那時只有東印度公司一支股票。
那個年代除了一支股票，還有一種極度安全的投資工具，比如荷蘭國債、投資人可以每年收微薄但固定的利息。
這種極度安全投資工具的利率，我們稱為「無風險利率」。
假設我們可以在這個無風險利率之下借出和借出資金，這個無風險利率稱為 $latex R{f}$ 。
當無風險年利率為 5% 的時候，我們用這個利率投資就是 5% 年息，用這個利率貸款就是 5% 貸款利率。
現實生活中因為中間還有一層銀行抽手續費和利差的關係，借款人支付的利率會比作為投資人收到的還要多。
不管怎麼樣，我們還是先假設只存在一個利率為整數 5%，然後假設東印度公司歷史平均報酬率為 20%。
但它的投資風險很大，標準差高達 40%。
那麼我可以做什麼呢？
我們能畫一個圖表——把橫軸標為風險 (投資組合的標準差)、縱軸標為投資組合的預期報酬率 r。
然後我們可以選擇股票和無風險利率的組合方式，再把所有可能的情況畫成圖，好一目瞭然。
若按 5% 的無風險利率投資、就不用承擔風險，也就是 $latex r{f}$ 點。
也就是不存在任何風險、就能有 5% 的收益。
東印度公司的位置在這裡—— 20％ 的報酬率、40％的風險。
現在我們有 100 元。
如果把 100 元全部都投入東印度公司的股票，將會得到 20 元的利潤、同時也面臨 40 元標準差波動的風險。
那我們能不能借錢去買股票呢？當然可以。
當借入了 100 元、又拿這 100 元去買東印度公司的股票，代表我們最後會擁有 200 元的東印度公司股票，同時擁有 100 元的債務。
現在的預期報酬是多少呢 ？
注意噢～答案不是 40%，而是 35%。
我們現在擁有價值 200 元的東印度公司股票，預期報酬是 20%、所以我將得到 40 元的報酬。
但別忘了，其中 100 元是借來的，還有負債！需要給我的債權人 5% 利息。所以最後我能得到 40 – 5 = 35 元 ，佔初始投資的比例為 35%。
所以又得到了一個點為報酬 35%、標準差是 80%。這樣就叫做「 2：1 倍槓桿」。
雖然我只有 100 元，卻能夠藉由借錢、在股市中投入 200 元。
把這些點連起來，就會出現一條直線。
由於我們在投資風險比較高的商品時，會要求較高的報酬率，以彌補所承受的高風險。
不然東印度公司股票風險（波動度）那麼高，為什麼還值得買？因為報酬高呀。如果風險高、但報酬卻沒有比較高，那就不會有任何人會去買了。
這額外增加的報酬率，就稱為風險溢酬。
而這條線的斜率 S，等於選擇的資產組合，每增加一單位標準差、上升的期望報酬。
換句話說，就是每單位額外風險的額外收益的測度。因此該斜率也可稱為報酬與波動性比率 (reward-to-variability ratio)。
在這條線上，我們能做任意的組合——比如把錢一半投入無風險資產、一半投入東印度公司股票。
那麼什麼才是「最佳投資組合」？
如果客戶跟投資經理說：「我想要報酬率 100%。」
你覺得達得到嗎？
當然達得到。還記得我們把報酬率從 20% 拉到 35% 的過程嗎？只要運用槓桿操作，就能達到任何想要的報酬，只是風險也會極高。
這張圖就叫「資本配置線」(Capital Asset Allocation, CAL)，假設一個風險資產與無風險資產組成的投資組合。
利用資本配置線，我可以得到任意我想要的報酬（還有相對應的風險）。
不存在最佳的投資組合，只有報酬與風險的TRADE-OFF
因此，1952 年 Markowitz 探討的核心問題就是「不存在最佳投資組合」，只存在風險和報酬之間的平衡。
在資本配置線中，我們已經找出了平衡點——在這條線上的任意一點，都是可以投資的組合。而投資人必須在風險和報酬中做出選擇 。
若整理成數學式，則如下：
包含風險資產與無風險資產的投資組合 (A Portfolio of Risky and Riskless Assets)
- 總資產 1 元。
- 將其中的 $latex x$ 元放入風險資產、報酬率為 $latex r{1}$
- 將剩下的 $latex (1-x)$ 元放入無風險資產、無風險報酬率為 $latex r{f}$
- 組合期望報酬 $latex r = x*r{1} + (1-x)*r{f}$
我們能夠根據 r 來解出 x 的值： $latex x = (r – r{f}) / (r1 – rf)$
再進而算出變異數和標準差（都只是代公式而已～別緊張噢）：
- 組合變異數 $latex x^{2}*var(return1)$
- 組合標準差 $latex \sigma = x{1}*\sigma(return1)$
以上，是無風險加上風險資產的投資組合。
接下來讓我們看看：兩種是有風險資產的投資組合。
包含兩種風險資產的投資組合 (A PORTFOLIO OF two RISKY ASSETs)
- 總資產 1 元。
- 將其中的 $latex x{1}$ 元放入風險資產 1、報酬率為 $latex r{1}$
- 將剩下的 $latex (1-x{1})$ 元放入風險資產 2、報酬率為 $latex r{2}$
然後我們同樣能根據 $latex r$ 解出 $latex x{1}$ 的值，然後代公式求出變異數：
- 組合期望報酬 $latex r = x{1}*r{1} + (1-x{1})*r{2}$
- 組合變異數 $latex x{1}^{2}*var(return1) + (1-x{1})^{2}*var(return2) + 2x{1}(1 – x{1})cov(return1, return2)$
$latex x{1} = (r – r{2}) / (r{1} – r{2})$
$latex \sigma^{2} = (r – r{2}) / (r{1} – r{2})^{2}*\sigma{1} + (r {1}- r) / (r{1} – r{2})^{2}*\sigma{2} + 2*((r-r{2})(r{1} – r))/(r{1} – r{2})^2*\sigma{12}$
開完平方根後，就可以把數值轉成雙曲線圖了。我們把這條線稱作「效率前緣」Efficient Frontier）：
Note：效率前緣在金融領域是重要到炸的聖經級基本名詞
如果我們把所有錢 100% 投資在股票時，可以發現報酬可高達 13%，但風險同樣也會變得很高、約為 18%。
如果逐步調整為 40% 債券、60% 股票的組合，或債券和股票各 50% 的組合，可以發現報酬越來越低、但風險也越來越低。
遺憾的是，還是沒有一個最佳的投資組合，再次強調：投資只有風險和報酬的平衡。
不過除此之外，我們還是可以找到一些有趣的事情：
你覺得把錢 100% 都拿去買債券是正確的選擇嗎？
如果沒看效率前緣圖，聽起來也還不錯呀？每年都能穩穩賺 5% 報酬、風險也低。
然後我們來看看效率前緣圖…
當然 100% 買債券當然不是最正確的選擇！
還有一個點，雖然和 100% 持有債券的風險是一樣的、但報酬卻更高！
也就是說，效率前緣這張圖能幫助我們找到總風險相同時、可獲得最高預期報酬率的投資組合。基本上只要至少高於頂點就行了。
聽起來好像沒很困難（這些概念可以得諾貝爾經濟學獎？！），但在 Markowitz 寫論文的年代，一堆投資機構都是 100% 持有債券的呢。
接下來再讓我們嘗試一件事：如果從 2 種資產的投資組合，提升到包含 3 種資產的投資組合呢？
假設我們從原本的股票與債券，把投資組合中多加入一項新商品——石油。
三種投資組合標準差公式如下：
只有兩種投資組合（股票/債券）的效率前緣為粉紅色的線段；有三種投資組合（股票/債券/石油）的效率前緣為藍色線段。
可以看到一件神奇的事情發生了～ 效率前緣向左邊移動了！
資產組合中涵蓋的商品種類越豐富，預期報酬所對應的標準差就會越小，所以最理想的方式就是「分散投資」！
當資產的相關係數 > 0 時，曲線會向後彎；當相關係數為 1 時，因為完全沒有分散風險，曲線會呈現一直線。
可以發現要在相同風險之下，獲得較高的預期報酬率，就要讓資產組合內商品的相關性越低。
我們一直都聽過「不要把雞蛋放在同一個籃子裡」這句話，但從來沒有看過真正用數學推導後，會發生什麼事。
很明顯地，投資人會想要採納包含三種商品的投資組合、更勝過於採納僅包含兩種商品的投資組合。我們也可以增持四種商品、五種商品… 一直到 1000 多種以上的商品，讓風險足夠分散。
（不過以上只是理論面，巴菲特的老師、價值投資之父葛拉漢提出說，最多到 30 檔左右就已經達到足夠分散的效果了）
把無風險資產加進圖裡面
不過上面的效率前緣線，都是只有風險資產的組合、只包含標準差大於零的資產，並不包含標準差等於零的無風險資產。
如果我們增加一個無風險資產——一年期政府債券；由於一年期政府債券的到期時間和我們的投資期間皆為一年，所以可以確定它是沒有風險的。
假設無風險資產的報酬率 5%，加上原有投資各類商品的投資組合，要怎麼分配投資比例呢？
在未加進無風險資產之前，投資人僅能依其風險偏好，在原效率前緣 (N1 – M – N2) 線斷上進行選擇（但要除卻虛線的部分）。
還記得我們是怎麼把「無風險資產」和「東印度公司」股票搭配起來的嗎？不就是拉一條線？
所以我們拉一條會經過效率前緣上的切線，就會成功出現「無風險資產」加上「原投資組合」的新的投資組合了。
投資人可依個人的風險趨避程度，在這條線上適度增減風險性資產的投資額度，在更有效率的新效率前緣 ( Rf – M – B2) 上選擇較高效用的投資組合。
這條線就叫做「切線投資組合」。
其中，(M – B2) 的部份，表示投資人將以槓桿融資的方式進行投資。
值得想想看的地方來了… 包 3 種商品的投資組合會比只包 2 種好、包 4 種又會比只包 3 種好… 所以我們可以先畫出一條效率前緣，涵蓋市場上所有的風險商品。
接下來，再根據無風險資產，畫出一條切過這條效率前緣的切線，然後就有切線投資組合了。
所以理論上… 全市場上都會只想要投資這個唯一的組合！
可能有些人風險接受度較高、有些人較低，但還是只會在這條切線上去變動啊！
還要基金經理人幹嘛？還要投資專家幹麻？你想要多高報酬和多高風險、多低報酬和多低風險，通通照著這條線操作就行啦～ (〃°ω°〃)
我們不用上千種基金（基金就是跟一般大眾收錢集資，然後投資各種不同商品），只要有單一種基金就夠啦！
基金經理人需要問投資人的問題只有兩個：
- 你的報酬（風險）設定在多少？
- 要不要槓桿？（兩倍 / 三倍… 隨便你心臟承受度）
這就是根據 Markowitz 資產理論、後面延伸出來的共同基金理論（Mutual Fund Theorem）——全市場投資組合，和切線投資組合相等。
改革—CAPM，投資學界的聖經級理論
Markowitz 在 1952 年發表「分散投資」與「效率組合投資理論」等論文，第一次以嚴謹的數學工具，展示投資者在眾多風險資產中、如何構建最佳資產組合的方法，也因此成為「現代投資組合理論之父」。
但當時的… 還記得我們上面計算三檔風險資產共變數 (covariance) 公式的長度嗎？現在因為有電腦運算，要算 10 檔、20 檔以上的投資組合是一件輕輕鬆鬆的事。
但當時是 1950 年代、電腦才剛發明不久的時刻！ Markowitz 可是自己用手算算出這一切的啊啊啊～（或許這才是他得諾貝爾經濟學獎的真諦）<- 大誤
當時每運行一次電腦，需要耗費 150 到 300 美元；要從當年的 1500 檔股票中挑出合適的商品來組合，運算所需的成本至少是上述金額的 50 倍。
而且投資人還必須能 持續估計 每一檔股票的預期報酬、標準差及相關係數，否則整個運算過程會變得毫無意義。（得隨時更新這些投資組合中每一檔股票的數字…嚇死人…）
為解決這個問題，從 1960 年代開始，以夏普 (Sharpe)、林特納 (Lintner) 等人為代表的經濟學家們，想辦法研究能不能簡化 Markowitz 的理論。
如果市場上的投資人，都採用現代投資組合理論，來選擇最佳的資產組合，那麼資產的均衡價格將如何在報酬與風險的權衡中形成呢？或者說，在市場均衡狀態下，資產的價格如何依風險而確定？
因此，後續這幾位經濟學家又進一步提出了「資本資產定價模型」（Capital Asset Pricing Model, CAPM）。
這就是！所有！念過金融/經濟/商管！的學生！都必學！的！大名鼎鼎的
CAPM 理論
就是它啊啊啊啊！！！（會 CAPM 就可以出去跟人聊天說你懂一點投資學理論了_(┐「ε:)_）（太重要所以標起來強調）
夏普也因此在 1990 年，和 Markowitz 一同獲得諾貝爾經濟學獎。
就讓我們在下篇，繼續為大家介紹——什麼是 CAPM 理論吧！
哪些投資和其它比起來、能擁有更高的預期報酬呢？
哦，就是那些在經濟狀況不好時，會表現得最差的投資。 — 威廉・夏普
